.

Привет! Давай вместе разберёмся с задачей на твоём фото. Нужно доказать тождество:

1 - sin^2(α) * (1 + tg^2(α)) = 1;

Для начала вспомним, что tg(α) = sin(α)/cos(α), и что sin^2(α) + cos^2(α) = 1. Давай использовать эти знания.

Мы знаем, что 1 + tg^2(α) = 1 + sin^2(α)/cos^2(α) = (cos^2(α) + sin^2(α))/cos^2(α), так как мы привели дробь к общему знаменателю. Далее, используя основное тригонометрическое тождество sin^2(α) + cos^2(α) = 1, получаем:

1 + tg^2(α) = 1/cos^2(α).

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

1 - sin^2(α) * (1 + tg^2(α)) = 1 - sin^2(α)/cos^2(α) = 1 - tg^2(α),

но так как tg(α) = sin(α)/cos(α), то sin^2(α)/cos^2(α) = tg^2(α), и мы получаем:

1 - sin^2(α)/cos^2(α) = 1 - tg^2(α) = 1 - sin^2(α)/cos^2(α).

Заметим, что 1 - sin^2(α) это просто cos^2(α), то есть:

cos^2(α) - sin^2(α)/cos^2(α) = cos^2(α) - tg^2(α).

Так как мы выразили 1 + tg^2(α) через косинус, у нас есть