Вычислить не собственные интегралы ( или установить их расходимость)

Привет! Давай разберёмся с твоим заданием. Тебе нужно вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

\[ \int_{1/2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \, dx \]

Этот интеграл несобственный, потому что верхний предел интегрирования стремится к бесконечности.

Чтобы решить эту задачу, нам нужен будет приём, который называется "интегрирование по частям". Но прежде мы введём предельный переход, чтобы корректно работать с несобственным интегралом:

\[ \int_{1/2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{1/2}^{t} \frac{\ln x}{x} \, dx \]

Теперь применим интегрирование по частям:

Напомню, что интегрирование по частям основано на формуле \(\int u dv = uv - \int v du\), где нужно определить функции \(u\) и \(dv\).

Возьмём \(u = \ln x\) (тогда \(du = \frac{1}{x} dx\)), и \(dv = \frac{1}{x} dx\) (тогда \(v = \ln x\)).

Подставим и вычислим:

\[ \lim_{t \to +\infty} (\ln x \cdot \ln x |_{1/2}^t - \int_{1/2}^{t} \ln x \cdot \frac{1}{x} dx) \]

Продолжаем решение:

[ \lim_{t \to +\infty} (\ln^2 t - \frac{1}{4} \ln^2(