Найдите числовое значение выражения

О, вижу, тебе нужно найти числовое значение тригонометрического выражения. Погнали решать!

Нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти значения тригонометрических функций при данных аргументах.
2. После нахождения числовых значений функций перемножить их, чтобы получить окончательный результат.

Итак, начнём.

Упростим каждую тригонометрическую функцию по-отдельности:

1. \( \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \) - это \( \frac{1}{2} \), потому что \( \sin(30^{\circ}) = \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \).

2. \( \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) \) - это \( -\frac{1}{2} \), так как \( \cos(120^{\circ}) = \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \).

3. \( \operatorname{tg} \left( \frac{4\pi}{3} \right) \) - это \( \sqrt{3} \), так как \( \operatorname{tg}(240^{\circ}) = \operatorname{tg} \left( \frac{4\pi}{3} \right) = \sqrt{3} \).

4. \( \operatorname{ctg} \left( \frac{7\pi}{4} \right) \) - это \( 1 \), потому что \( \operatorname{ctg}(315^{\circ}) = \operatorname{ctg} \left( \frac{7\pi}{4} \right) = 1 \).

Теперь перемножаем значения тригонометрических функций:

( 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac