Реши

Привет! Давай вместе решим задачу на вычисление объема тела вращения.

Тут задано криволинейной трапецией, ограниченной линиями \( y = x^2 + 3, x = 2, x = 3, y = 0 \), и требуется найти объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси абсцисс (ось x).

Для решения задачи мы будем использовать метод дисков, который заключается в следующем:

1. Нужно взять интеграл от квадрата радиуса вращающегося диска, умноженного на \( \pi \), интегрировать мы будем по оси x, то есть в пределах от x = 2 до x = 3.
2. Радиус вращающегося диска в нашем случае равен значению функции \( y = x^2 + 3 \) в каждой точке на интервале от 2 до 3.

Подставим функцию и вычислим интеграл:

\( V = \pi \int_{2}^{3} (x^2 + 3)^2 dx \)

Чтобы было проще интегрировать, сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении:

\( (x^2 + 3)^2 = x^4 + 6x^2 + 9 \)

Теперь возьмем интеграл от каждого слагаемого:

\( \int x^4 dx \) даст нам \( \frac{1}{5}x^5 \), \( \int 6x^2 dx \) даст нам \( 2x^3 \), \( \int 9 dx \) даст нам \( 9x \).

Теперь подставляем верх