Установите вид монотонности

Хорошо, давай посмотрим на каждую из последовательностей, чтобы установить их монотонность. Монотонность последовательности определяет, как изменяется последовательность при увеличении n – она может быть либо возрастающей, либо убывающей, либо же может сохранять одно и то же значение на всем промежутке.

а) Для последовательности \( x_n = \frac{n}{n+1} \), посмотрим как изменяется отношение при увеличении n. Числитель и знаменатель увеличиваются, но знаменатель увеличивается быстрее. Это значит, что значение дроби будет уменьшаться при увеличении n, т.е. последовательность убывающая.

б) Посмотрим на последовательность \( x_n = \frac{n^2}{n^2+2} \). Здесь ситуация похожа: и числитель, и знаменатель увеличиваются при увеличении n, но т.к. в знаменателе прибавляется константа, а числитель растет за счет квадрата n, то в целом дробь будет расти. Следовательно, последовательность возрастающая.

в) Теперь рассмотрим \( x_n = \frac{2n}{n^2+1} \). Здесь знаменатель растет квадратично, а числитель - линейно. Это значит, что значение дроби уменьшается при увеличении n, так как знаменатель увеличивается значительно быстрее, чем числитель. Значит, последовательность убывающая.

Таким образом