Реши

Привет! Давай вместе решим это задание.

Нам нужно определить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями \( y = x^2 + 6 \), \( x = 0 \), \( x = 4 \), \( y = 0 \).

Для начала поймем, что такое криволинейная трапеция. Это фигура, ограниченная сверху графиком функции, снизу осью абсцисс (в нашем случае \( y = 0 \)), слева и справа вертикальными прямыми \( x = a \) и \( x = b \).

Теперь поговорим о том, как найти объем тела, полученного вращением такой трапеции. Объем такого тела можно найти по формуле Вашего учебника по математике, интегрированием функции \( y \) в квадрате от \( a \) до \( b \) и умножением на \( \pi \).

Таким образом, нам нужно взять интеграл от \( (x^2 + 6)^2 \) на отрезке от \( 0 \) до \( 4 \).

\[ V = \pi \int_{0}^{4} (x^2 + 6)^2 dx \]

Раскроем квадрат суммы в интеграле:

\[ (x^2 + 6)^2 = x^4 + 12x^2 + 36 \]

Итак, интегрируем каждый член выражения по отдельности:

\[ \int x^4 dx = \frac{1}{5}x^5 \] [ \int