реши задачу

Привет! Давай попробуем вместе решить эту задачу по графику функции.

Нам нужно найти значение коэффициента \( a \) для квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \), зная, что вершина параболы на графике находится в точке \( \left(\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right) \) и что график пересекает ось ординат (ось \( y \)) в точке \( (0; 1) \).

Для начала вспомним, что когда график пересекает ось \( y \), значение \( x \) равно 0. Таким образом, подставляя \( x = 0 \) в наше уравнение, получаем, что \( c \) равно значению \( y \) в этой точке пересечения, то есть \( c = 1 \).

Вершина параболы для функции \( y = ax^2 + bx + c \) находится в точке, где \( x \) равен \( -\frac{b}{2a} \), а \( y \) равен \( c - \frac{b^2}{4a} \). Поскольку мы знаем координаты вершины, мы можем составить систему уравнений для вычисления \( a \) и \( b \), но значение \( b \) нам на самом деле не нужно, так как в задаче спрашивается только про \( a \).

Итак, вершина параболы находится в точке \( \left(\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right) \), следовательно:

\( \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2} \) (1) \( \frac{-1}{2} = c - \frac{b^2}{4a} \)