В правильной четырехугольной пирамиде сторона основа- ния равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости ос- нования под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды равен \( \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \), где \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания, а \( h \) - высота пирамиды.

Площадь основания равна \( S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times \text{сторона} \times \text{боковое ребро} = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \, \text{см}^2 \).

Так как боковое ребро наклонено под углом 45°, высота пирамиды будет \( h = \text{боковое ребро} \times \sin{45^\circ} = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{см} \).

Теперь подставляем значения и находим объем: \( V = \frac{1}{3} \times 32 \times 4\sqrt{2} = \frac{128\sqrt{2}}{3} \, \text{см}^3 \).

Ответ: \( V = \frac{128\sqrt{2}}{3} \, \text{см}^3 \).