Сделай алгебру

Хорошо, приступим к алгебре. На вашей фотографии изображено учебное пособие с задачами по тригонометрии. Давайте решим, например, задачу номер 558 для примера. Нужно доказать тождество:

\[ \sin(2\alpha - 3\pi) + 2 \cos\left(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha\right) = -\sqrt{3} \operatorname{ctg} 2\alpha \]

Для начала упростим каждое слагаемое:

1. \(\sin(2\alpha - 3\pi)\). Поскольку \(\sin(\theta - 2\pi k) = \sin(\theta)\) для любого целого k (и это же работает для \(3\pi\) так как это не что иное, как \(2\pi + \pi\)), \[ \sin(2\alpha - 3\pi) = \sin(2\alpha - \pi) \] Используем формулу сдвига для синуса: \(\sin(x - \pi) = -\sin(x)\), \[ \sin(2\alpha - \pi) = -\sin(2\alpha) \]

2. \(2 \cos\left(\frac{7\pi}{6} + 2\alpha\right)\). Аналогично с синусом, косинус имеет период \(2\pi\), но здесь этим свойством воспользоваться не получится. Однако \(\frac{7\pi}{6}\) можно упростить. Заметим, что \(\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}\), что позволяет нам задействовать формулу сдвига для косинуса: \(\cos(x + \pi) = -\cos(x)\),