.

Привет! Давай вместе разберемся с этой задачей по математике.

Итак, нам нужно найти значение выражения \(4x \cdot \left( (6x^{15})^4 : (6x^{10})^6 \right)\) при \(x = 45\).

Для начала, вспомним основные свойства степеней:

1. При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются: \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\).
2. При делении степеней с одинаковым основанием, показатели степеней вычитаются: \(a^n : a^m = a^{n - m}\).
3. При умножении числа на степень, число умножается на степень с тем же основанием: \(c \cdot a^n = ca^n\).

Теперь применим эти свойства к нашему выражению:

\(4x \cdot \left( (6x^{15})^4 : (6x^{10})^6 \right) = 4 \cdot 45 \cdot \left( 6^4 \cdot x^{15 \cdot 4} : 6^6 \cdot x^{10 \cdot 6} \right)\)

Теперь посчитаем степени \(x\) и числа \(6\):

• \(15 \cdot 4 = 60\)
• \(10 \cdot 6 = 60\)

Получается \((x^{60} : x^{60}) = x^0\), а так как любое число в нулевой степени равно \(1\), этот фактор мы можем не учитывать.

Далее, посчитаем степени числа \(6\):

• \(6^4 : 6^6 = 6^{4-6} = 6^{-2}\)

При \(6^{-2}\) мы имеем дел