Если функции F и G являются соответственно первообразными функции f и g на промежутке I , то на этом промежутке функция у = F(x) + G(x) является первообразной функции

Для доказательства, что функция у = F(x) + G(x) является первообразной функции f + g, нам нужно показать, что ее производная равна f + g.

Дифференцируем функцию F(x) по x, используя определение первообразной функции: F'(x) = f(x)

Дифференцируем функцию G(x) по x, также используя определение первообразной функции: G'(x) = g(x)

Теперь дифференцируем функцию y = F(x) + G(x) по x: y' = (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)

Таким образом, мы получили, что производная функции у равна сумме производных функций F и G. Это означает, что функция у = F(x) + G(x) является первообразной функции f + g на промежутке I.