Если функция F является первообразной функции f на промежутке I и k - некоторое число , отличное от 0, то на этом промежутке функция y=(1/k)*F(kx+b) является первообразной функции

f(kx+b).

Для доказательства этого факта, необходимо воспользоваться определением первообразной функции.

Первообразной функции f на промежутке I называется такая функция F, что F'(x) = f(x) для всех x из I.

Рассмотрим функцию y = (1/k)*F(kx+b) и найдем ее производную:

dy/dx = (1/k) * d/dx (F(kx+b))

Сделаем замену переменной z = kx + b. Тогда x = (z-b)/k, а dx = dz/k.

dy/dx = (1/k) * d/dz (F(z))

Заметим, что d/dz (F(z)) = f(z), так как F является первообразной функции f на промежутке I.

Поэтому, dy/dx = (1/k) * f(z) = f((z-b)/k)

Таким образом, получаем, что производная функции y = (1/k)*F(kx+b) равна f((z-b)/k). Это значит, что функция y является первообразной функции f((z-b)/k) на промежутке I.

Таким образом, доказано, что функция y = (1/k)*F(kx+b) является первообразной функции f на промежутке I.