Если функция F является первообразной функции f на промежутке I и k - некоторое число , отличное от 0, то на этом промежутке функция y=(1/k)*F(kx+b) является первообразной функции

На самом деле, для доказательства этого утверждения, нам нужно воспользоваться определением первообразной функции и фундаментальной теоремой исчисления.

Определение первообразной функции: Функция F является первообразной функции f на промежутке I, если производная F'(x) функции F(x) равна функции f(x) на этом промежутке, то есть F'(x) = f(x) для всех x в I.

Фундаментальная теорема исчисления: Если функция f(x) непрерывна на промежутке I, то интеграл от f(x) по x от a до b (обозначается как ∫[a,b]f(x)dx) равен разности значений первообразной F(x) функции f(x) в точках a и b, то есть ∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a).

Теперь давайте докажем, что функция y = (1/k)*F(kx+b) является первообразной функции f(x).

Для этого найдем ее производную: (dy/dx) = (1/k) * (d/dx)(F(kx+b))

Используем замену переменной u = kx+b и применим правило дифференцирования сложной функции:

(dF(u)/du) = F'(u)

Тогда:

(dy/dx) = (1/k) * F'(u)

По определению первообразной функции, F'(u) = f(u), где u = kx+b.

Теперь, заменим u на kx+b в выражении (dy/dx):

(dy/dx) = (1/k) * f(u)

Мы можем заменить u на kx+b, так как u = kx+b.

(dy/dx) = (1/k) * f(kx+b)

Таким образом, мы видим, что производная функции y равна функции f(kx+b) умноженной на (1/k). Это означает, что функция y = (1/k)*F(kx+b) является первообразной функции f(x) на промежутке I.