Реши все

Судя по содержимому доски, перед нами задача по дифференцированию сложных функций. Нужно применить правило дифференцирования произведения и сложных функций, чтобы найти производные данных выражений.

Давай разберем первое выражение слева сверху вниз:

1. \( y = 4 \sin^2x \cdot 2 \cos x \) Для нахождения производной этого выражения нужно воспользоваться правилом производной произведения функций (правило uv), которое говорит нам, что производная произведения функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй. В данном случае первая функция это \( 4 \sin^2x \), а вторая — \( 2 \cos x \).

2. Производная \( 4 \sin^2x \) вычисляется как производная функции в квадрате. Сначала находим производную внутренней функции \( \sin x \), которая равна \( \cos x \), а затем умножаем ее на 2 (из-за степени 2), и на 4 (коэффициент перед синусом). В результате получаем \( 8 \sin x \cos x \).

3. Производная \( 2 \cos x \) будет равна \( -2 \sin x \) (так как производная косинуса это минус синус).

Итак, применяя правило произведения, получаем: \( y' = 4 \sin^2x \cdot (-2 \sin x) + 8 \sin x \cos x \cdot 2 \cos x \)