Через концы диаметра АВ окружности проведены две касательные к ней. Третья касательная пересекает пер- вые две в точках С и D. Докажите, что квадрат радиуса этой окружности равен произведению отрезков СА и DB.

Докажем равенство квадрата радиуса окружности и произведения отрезков СА и DB. Рассмотрим треугольники САС' и DBD'. Они подобны, так как углы при основании касательных равны (как соответствующие). Из подобия следует, что отношение сторон треугольников равно квадрату отношения радиуса касающихся окружностей, то есть (СА/CD)^2 = (r/R)^2. Выразим r^2 через R^2: r^2 = R^2 * (CD^2 / (СА * DB)), что и требовалось доказать.