Через концы диаметра АВ окружности проведены две касательные к ней. Третья касательная пересекает пер- вые две в точках С и D. Докажите, что квадрат радиуса этой окружности равен…

Докажем, что квадрат радиуса окружности равен произведению отрезков СА и DB.

Из теоремы о касательных к окружности следует, что угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. Следовательно, треугольник САD прямоугольный.

Так как AC и BD - касательные, то угол ACB является опирающим на дугу AB, и угол BDA является опирающим на ту же дугу. Следовательно, эти углы равны.

Таким образом, треугольники ACB и BDA подобны, их стороны пропорциональны.

AC/BD = CB/DA

Поскольку радиус одинаков в обоих треугольниках:

AC/BD = R/R

AC * BD = CB * DA

AC * BD = R^2

Таким образом, квадрат радиуса равен произведению отрезков СА и DВ.