Сократи дробь

Хорошо, давай вместе разберёмся с этой задачей по математике. Нам нужно сократить дробь \(\frac{50^n}{5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}}\).

Для начала давай посмотрим, как можем упростить числитель и знаменатель дроби:

Числитель \(50^n\) - это то же самое, что \(5^n \cdot 10^n\), потому что 50 можно представить как 5 умноженное на 10. Из этого следует, что \(50^n = (5 \cdot 10)^n = 5^n \cdot 10^n = 5^n \cdot (2 \cdot 5)^n = 5^n \cdot 2^n \cdot 5^n\). Получается, что числитель равен \(5^{2n} \cdot 2^n\).

Теперь посмотрим на знаменатель. У нас есть \(5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}\). Здесь всё остаётся как есть, только нужно помнить, что это произведение степеней с одинаковыми основаниями.

Теперь разделим числитель на знаменатель с учетом свойств степеней:

\[ \frac{5^{2n} \cdot 2^n}{5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}} = \frac{5^{2n}}{5^{2n-1}} \cdot \frac{2^n}{2^{n-1}}. \]

Воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются:

\[ \frac{5^{2n}}{5^{2n-1}} = 5^{2n - (2n-1)} = 5^{1} = 5 \] и