Реши Все Уравнения Кратко

Хорошо, давай посмотрим на эти уравнения и попробуем их решить по порядку.

8. \( \text{tg}(2x + \frac{\pi}{3}) = 1 \)

Тангенс равен единице при углах \( \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — это любое целое число (потому что тангенс — периодическая функция с периодом \( \pi \)).

Таким образом, у нас есть уравнение:

\( 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k \)

Перенесем \( \frac{\pi}{3} \) в правую сторону:

\( 2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k \)

Теперь приведём дроби к общему знаменателю:

\( 2x = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + \pi k \)

\( 2x = -\frac{\pi}{12} + \pi k \)

Теперь делим все на 2:

\( x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \)

Таким образом, общее решение этого уравнения:

\( x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, \space k \in \mathbb{Z} \)

9. \( \text{tg}(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) = -1 \)

Аналогично предыдущему уравнению, тангенс равен минус единице при углах \( -\frac{\pi}{4} + \pi m \), где \( m \) — целое число.

( \frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4