Номер 6

Привет! Давай вместе посмотрим на номер 6.

Перед нами стоит задача упростить выражение, которое содержит комплексные числа. Заданное выражение: \( \frac{2 + i}{3 + 4i} \).

Чтобы упростить это выражение, нам нужно избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к знаменателю.

Сопряженное число для \( 3 + 4i \) будет \( 3 - 4i \). Таким образом, мы можем убрать мнимую часть из знаменателя. При умножении мы используем формулу разности квадратов.

Давай умножим:

\[ \frac{2 + i}{3 + 4i} \cdot \frac{3 - 4i}{3 - 4i} = \frac{(2 + i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)}\]

Для числителя распределительный закон даёт нам:

\[ (2 \cdot 3) + (2 \cdot (-4i)) + (i \cdot 3) + (i \cdot (-4i)) \] \[ = 6 - 8i + 3i - 4i^2 \]

Так как \( i^2 = -1 \), упрощаем и получаем:

\[ 6 - 8i + 3i + 4 \] \[ = 10 - 5i \]

Теперь, знаменатель после умножения сопряженных будет:

\[ (3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 - (4i)^2 \] \[ = 9 - 16(-1) \] \[ = 9 + 16 \] [ =