Рівнобічну трапецію вписано в коло, центр якого належить одній з основ. Кут між діагоналями трапеції, протилежний її бічній стороні, дорівнює 56°. Знайдіть кути трапеції.

Запишемо дані умови задачі: Кут між діагоналями трапеції, протилежний її бічній стороні, дорівнює 56°.

Оскільки трапеція рівнобічна, то центр кола, вписаного в неї, лежить на одній з її основ.

Позначимо кути трапеції наступним чином:

A /
/
D C |__|

AC і BD - діагоналі трапеції AB і CD - основи трапеції ∠ADC - кут між діагоналями, протилежний основі AD

Згідно умови, ∠ADC = 56°.

Оскільки центр кола лежить на основі AD, то кут, утворений лінією центра кола і хордою AD, дорівнює половині кута ∠ADC, тобто 56° / 2 = 28°.

Значить, ∠ACD = ∠CAD = 28°.

Оскільки трапеція рівнобічна, то ∠ACB = ∠BAC = ∠ADC = 56°.

Залишилося знайти величину кутів ∠ABC і ∠CDA.

Загальна сума кутів в трапеції дорівнює 360°.

360° = ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB

Згідно властивостей трапеції, ∠ABC = ∠CDA.

360° = ∠ABC + ∠BCD + ∠ABC + ∠DAB

360° = 2∠ABC + ∠BCD + ∠DAB

З відомих раніше величин, позначених англійськими літерами (кути трапеції), одержуємо:

360° = 2 * 56° + ∠BCD + ∠DAB

360° = 112° + ∠BCD + ∠DAB

Оскільки ∠BCD + ∠DAB дорівнює куту на дугу між точками B і C кола, то відповідає величині кута на цю дугу:

360° = 112° + ∠BOC

∠BOC = 360° - 112° = 248°

Таким чином, кут ∠BOC дорівнює 248°.

Отже, кути трапеції мають наступні величини: ∠A = ∠DAB = ∠CAD = 28° ∠B = ∠ABC = ∠CBA = ∠C = 56° ∠C = ∠BCD = ∠CDA = 28° ∠D = ∠CDA = ∠DAB = 28°