Рівнобічну трапецію вписано в коло, центр якого належить одній з основ. Кут між діагоналями трапеції, протилежний її бічній стороні, дорівнює 56°. Знайдіть кути трапеції.
Зазначимо дані:
- Кут між діагоналями трапеції, протилежний її бічній стороні, дорівнює 56°.
- Впишемо трапецію в коло, тому вона є центральносиметричною.
- Одна з основ трапеції є діаметром кола, тому кут при вершині протилежний цій основі дорівнює 90°.
За властивостями центральної симетрії, кут між діагоналями трапеції, протилежний бічній стороні, дорівнює половині вимірювання дуги кола, що відповідає цьому куту. Отже, ми можемо записати:
56° = 1/2 * міра дуги кола, що відповідає цьому куту.
Так як дуга кола, що відповідає куту 56°, складається з 2 равних дуг, ми можемо записати:
1/2 * міра дуги кола = 1/2 * 56° = 28°.
Отже, міра дуги кола, що відповідає куту 56°, дорівнює 2 * 28° = 56°.
Ми також знаємо, що додатковий кут до прямого кута (90°) дорівнює 56°, тому ми можемо записати:
Додатковий кут = 180° - прямий кут = 180° - 90° = 90°.
Запишемо відомий нам кут у трапецію:
А + В + 90° + 90° = 360°, А + В = 180°.
Таким чином, ми отримали систему рівнянь: А + В = 180°, А + В = 180°.
Використовуючи цю систему рівнянь можна знайти кути трапеції.
Оскільки трапеція рівнобічна (основи паралельні і рівні), то ми можемо стверджувати, що кути при вершинах основ є рівними (протилежні).
А тому кути трапеції мають наступну міру:
А = (180° - В) / 2, В = (180° - А) / 2.
Вставимо значення А в другий рівняння і отримаємо:
В = (180° - (180° - В) / 2) / 2, В = (180° - 180° / 2 + В / 2) / 2, В = (180° - 90° + В / 2) / 2, В = (90° + В / 2) / 2, 2В = 90° + В / 2, 2В - В / 2 = 90°, (4В - В) / 2 = 90°, (3В) / 2 = 90°, 3В = 180°, В = 60°.
Таким чином, ми знаходимо, що кут B має міру 60°.
Візьмемо значення B і підставимо його в перше рівняння:
А = (180° - 60°) / 2, А = 120° / 2, А = 60°.
Таким чином, ми знаходимо, що кут A має міру 60°.
Отже, ми знаходимо, що кути трапеції мають міру 60°.
