О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Доказательство:

Предположим, что функция f(x) не является непрерывной на всей вещественной прямой. Это означает, что существует точка x0, в которой функция f(x) имеет разрыв.

Так как предположение гласит, что функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой, мы можем записать:

f(x0) + f(ax0) = C,

где С - константа.

Теперь рассмотрим пределы f(x) и f(ax) при x стремящемся к x0 справа и слева:

lim(x → x0+) f(x) = A1, lim(x → x0-) f(x) = A2, lim(x → x0+) f(ax) = B1, lim(x → x0-) f(ax) = B2.

Поскольку f(ax) = C - f(x), мы можем записать:

lim(x → x0+) (C - f(x)) = B1, lim(x → x0-) (C - f(x)) = B2.

Отсюда получаем систему уравнений:

A1 + A2 = C, A1 = C - B1, A2 = C - B2.

Из системы уравнений видно, что A1 и A2 равны.

Это означает, что функция f(x) имеет непрерывность в точке x0, что противоречит нашему предположению о разрыве.

Следовательно, функция f(x) должна быть непрерывной на всей вещественной прямой.