В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали

Доказательство:

Пусть в классе всего N учеников, среди которых M болтунов и N - M молчунов. Для удобства можем предположить, что M < N/2, иначе если M >= N/2, то учитель может пригласить на факультатив всех учеников и условие будет выполнено.

Обозначим количество друзей у каждого болтуна как f1, f2, ..., fm. Поскольку каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном, то f1, f2, ..., fm > 0.

Рассмотрим следующие два случая:

Случай 1: Существует болтун, у которого количество друзей нечетно. В этом случае, этот болтун будет молчать, так как нечетное количество друзей означает, что на факультативе будет нечетное количество молчунов, а болтун молчит только при нечетном количестве друзей. Таким образом, учитель может пригласить этого болтуна на факультатив.

Случай 2: У каждого болтуна количество друзей четно. Поскольку каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном, то у каждого болтуна количество друзей равно или больше двух. Предположим, что среди болтунов есть такие, у которых есть по крайней мере один друг, у которого количество друзей отличается от их собственного количества друзей. Обозначим количество друзей этого друга как k.

• Если k > f1, можно пригласить на факультатив всех учеников, у которых количество друзей равно k. Тогда на факультативе будет k молчунов и k болтунов, и каждый болтун будет молчать, так как количество его друзей будет нечетным (k > f1) и равным количеству друзей других болтунов.
• Если k < f1, можно пригласить на факультатив всех учеников, у которых количество друзей равно k. Тогда на факультативе будет k молчунов и k болтунов, и каждый болтун будет молчать, так как количество его друзей будет нечетным (k < f1) и равным количеству друзей других болтунов. Оба этих случая приводят к тому, что на факультативе будет как минимум k болтунов, которые молчат.

Теперь предположим, что все болтуны имеют одинаковое количество друзей (f1 = f2 = ... = fm).

• Если fm = 1, это означает, что один болтун дружит только с одним молчуном, и остальные молчуны не являются его друзьями. В этом случае учитель может пригласить на факультатив всех учеников, у которых количество друзей равно fm (т.е. только этого одного болтуна), и на факультативе будет fm болтунов, и каждый из них будет молчать.
• Если fm > 1, как было показано ранее, учитель может пригласить на факультатив всех учеников, у которых количество друзей равно fm (т.е. всех болтунов), и на факультативе будет fm болтунов, и каждый из них будет молчать.

В обоих случаях на факультативе будет как минимум fm болтунов, которые молчат.

Таким образом, во всех возможных случаях учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.