Решить

Давай рассмотрим задачу вместе. На фотографии у нас учебник математики с заданием на нахождение производных. В задании 278.1 дана функция f(x) = 2arcsin x + arccos x, и нужно найти f'(x), а также значение этой производной в точке x = √(2)/2.

Чтобы решить данную задачу, нам нужно вспомнить, как находить производные основных тригонометрических функций, а именно arcsin и arccos. Производная arcsin x равна 1/√(1-x²), а производная arccos x равна -1/√(1-x²). Начнем с нахождения производной функции f(x):

f'(x) = (2arcsin x)' + (arccos x)'

Теперь возьмем производные этих функций по отдельности:

(2arcsin x)' = 2 * 1/√(1-x²)

(arccos x)' = -1/√(1-x²)

Тогда

f'(x) = 2/√(1-x²) - 1/√(1-x²) = 2/√(1-x²) - √(1-x²)/√(1-x²) = (2 - √(1-x²))/√(1-x²)

Теперь нужно подставить x = √(2)/2 в получившуюся производную и вычислить значение:

f'(√(2)/2) = (2 - √(1 - (√(2)/2)²))/√(1 - (√(2)/2)²) = (2 - √(1 - 2/4))/√(1 - 2/4) = (2 - √(2/4))/√(2