.

Привет! Давай попробуем вместе решить эту геометрическую задачу.

В задаче нужно определить величины острых углов прямоугольного треугольника \( MNC \), учитывая что внешний угол при вершине \( C \) равен \( 111^\circ \).

1. Сначала разберемся с внешним углом. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним, то есть внешний угол при вершине \( C \) равен сумме углов \( \angle MNC \) и \( \angle MCN \).
2. Так как \( MNC \) — прямоугольный треугольник, \( \angle MCN \) равен \( 90^\circ \), поскольку из условия следует, что \( MN \) перпендикулярно \( MP \) (здесь обозначен прямым углом).
3. Теперь мы можем вычислить \( \angle MNC \), используя внешний угол: \[ 111^\circ = \angle MNC + 90^\circ \] \[ \angle MNC = 111^\circ - 90^\circ \] \[ \angle MNC = 21^\circ \]

Теперь осталось найти угол \( \angle MCN \):

1. В прямоугольном треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \).
2. Зная угол \( \angle MCN \) и \( \angle MNC \), мы можем вычислить \( \angle NMC \): \[ \angle NMC = 180^\circ - 90^\circ - \angle MNC \] [ \angle NMC = 180^\circ