Найдите значение выражения

Привет! Давай вместе посмотрим на это выражение и попробуем его решить.

У нас есть выражение:

\[ \frac{2 \cdot \text{tg} \left( \frac{7\pi}{2} + \alpha \right)}{2\text{ctg}(\pi + \alpha) + 3\text{tg} \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right)} \]

Сначала давай вспомним некоторые свойства тригонометрических функций. Тангенс и котангенс периодические с периодом \(\pi\), то есть для любого угла \(\alpha\) и целого числа \(k\):

\[ \text{tg}(\alpha + k\pi) = \text{tg}(\alpha) \] \[ \text{ctg}(\alpha + k\pi) = \text{ctg}(\alpha) \]

Также помним, что \(\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}(\alpha)\) и \(\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{tg}(\alpha)\), а для угла \(\frac{3\pi}{2}\) аналогичным способом \(\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \text{ctg}(\alpha)\).

Итак, давай сначала упростим числитель: [ \text{tg} \left( \frac{7\pi}{2} + \alpha \right) = \text{tg} \left( \frac{2\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} + \alpha \right) = \text{tg} \left( \pi + \frac{1\pi}{2} + \alpha \right) = \text{tg} \left( \frac{1\pi