Найдите значение выражения
Привет! Давай разберёмся вместе с этим примером. Нам нужно упростить выражение:
\[ \frac{2 \cdot \text{tg} \left( \frac{7\pi}{2} + \alpha \right)}{2\text{ctg} (\pi + \alpha) + 3\text{tg} \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right)} .\]
Для начала вспомним, что тангенс и котангенс – это периодические функции с периодом \( \pi \), поэтому значения функций через \( \pi \) повторяются. Кроме того, тангенс является нечетной функцией, а значит, меняет знак при добавлении \( \pi \).
Упростим числитель и знаменатель, используя эти свойства:
\( \text{tg} \left( \frac{7\pi}{2} + \alpha \right) \) можно представить как \( -\text{tg}(\alpha) \), так как \( \frac{7\pi}{2} = \frac{6\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \) и поскольку тангенс является нечётной функцией, \( \text{tg} \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = - \text{tg}(\alpha) \).
Для \( 2\text{ctg} (\pi + \alpha) \) мы тоже может использовать периодичность котангенса и получим просто \( -2\text{ctg}(\alpha) \), так как котангенс чётной функцией не является.
Аналогично, \( \text{tg} \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) \) упрощается до ( \text{tg}(\
