В правильной четырёхугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Расстояние от центра основания до боковой грани равно 6. Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды равен V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. По условию, боковые грани образуют угол 60 градусов с плоскостью основания, значит, это правильная пирамида, и боковые треугольники равносторонние. Теперь найдем высоту h, используя треугольник, образованный центром основания, вершиной пирамиды и точкой пересечения боковой грани и высоты, а также угол 60 градусов. Получаем, что h = 6 * √3. Площадь основания S = (a^2 * √3) / 4, где a - длина стороны основания пирамиды. Так как боковые треугольники равносторонние, то одна сторона такого треугольника равна a, а сторона треугольника, который является биссектрисой боковой грани - a / √3. Применяя данные формулы, находим S = (a^2 * √3) / 4 = (6^2 * √3) / 4 = 9 * √3. И, наконец, подставляем найденные значения в формулу для объема пирамиды, получаем V = (1/3) * 9 * √3 * 6 * √3 = 54 * 3 = 162. Ответ: объем пирамиды равен 162.