4. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами A(-1; v3), B(1; -v3), (2; v3).

Для треугольника со сторонами AB, BC и CA найдем косинусы углов:

Косинус угла ABC: cos(ABC) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)

Где: AB = sqrt((1 - (-1))^2 + (-√3 - √3)^2) = sqrt(4 + 12) = 2√4 = 4 BC = sqrt((2 - 1)^2 + (√3 - (-√3))^2) = sqrt(1 + 12) = √13 AC = sqrt((2 - (-1))^2 + (√3 - √3)^2) = sqrt(9) = 3

Подставляем значения: cos(ABC) = (4^2 + (√13)^2 - 3^2) / (2 * 4 * √13) cos(ABC) = (16 + 13 - 9) / (8√13) cos(ABC) = 20 / (8√13) = 5 / (2√13)

Косинус угла BCA: cos(BCA) = (BC^2 + CA^2 - AB^2) / (2 * BC * CA)

Подставляем значения: cos(BCA) = (√13)^2 + 9 - 4^2 / (2 * √13 * 3) cos(BCA) = 13 + 9 - 16 / (6√13) cos(BCA) = 6 / (6√13) = 1 / √13

Косинус угла CAB: cos(CAB) = (CA^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * CA * AB)

Подставляем значения: cos(CAB) = 9 + 16 - (√13)^2 / (2 * 3 * 4) cos(CAB) = 25 - 13 / 24 cos(CAB) = 12 / 24 = 1 / 2

Таким образом, косинусы углов треугольника ABC равны: cos(ABC) = 5 / (2√13) cos(BCA) = 1 / √13 cos(CAB) = 1 / 2