Найти общее решение уравнения

Привет! Давай вместе разберём это уравнение.

Мы видим дифференциальное уравнение в частных производных: \( u_x = f(y) \), где \( f(y) = \ln y \).

Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно проинтегрировать функцию \( f(y) \) по переменной \( x \), потому что дано, что частная производная \( u \) по \( x \) равна функции \( f(y) \).

Так как функция \( f(y) \) зависит только от \( y \) и не зависит от \( x \), при интегрировании функции \( \ln y \) по \( x \) переменная \( y \) будет восприниматься как константа.

Итак, интегрируем:

Получим \( u(x, y) = x \cdot \ln y + g(y) \), где \( g(y) \) — это произвольная функция от \( y \), которая появляется как константа интегрирования (на самом деле, она может быть любой функцией от \( y \), так как дифференцирование этой функции по \( x \) всё равно даст ноль).

Таким образом, это общее решение данного дифференциального уравнения:

\[ u(x, y) = x \cdot \ln y + g(y) \]

Готово! Если что-то непонятно или есть ещё вопросы - спрашивай, мы вместе разберёмся.