Даны координаты точек А (6; 3) и В (14; 9). Найдите координаты точки М, если точка В принадлежит отрезку АМ и АВ; АВ относится к ВМ как 2 к 1. В ответ запишите сумму координат точки М.

Question 1

Задача Задача №61436

А

Аноним

26 ноября 2023 17:10 · публичный вопрос

А

Аноним 26 ноября 2023 17:10

Даны координаты точек А (6; 3) и В (14; 9). Найдите координаты точки М, если точка В принадлежит отрезку АМ и АВ; АВ относится к ВМ как 2 к 1. В ответ запишите сумму координат точки М.

Answer

Для решения задачи мы можем использовать свойство, что координаты точки М делят отрезок АВ в отношении, заданном условием.

Пусть координаты точки M равны (x; y).

По условию, отношение АВ к ВМ равно 2 к 1. Это означает, что: AB/VM = 2/1

Мы можем записать расстояния AB и VM между точками используя их координаты: AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] VM = √[(x - x2)^2 + (y - y2)^2]

Где (x1, y1) - координаты точки А, а (x2, y2) - координаты точки B.

Подставляя известные значения, получаем: √[(14 - 6)^2 + (9 - 3)^2] / √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2] = 2/1

Вычисляя числитель и знаменатель, получаем: √[64 + 36] / √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2] = 2/1

Упрощая выражения, получаем: √[100] / √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2] = 2/1

Упрощая корни и квадраты, получаем: 10 / √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2] = 2/1

Перемножая обе части уравнения на √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2], получаем: 10 = 2 * √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2]

Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем: 100 = 4 * [(x - 14)^2 + (y - 9)^2]

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем: 100 = 4 * [x^2 - 28x + 196 + y^2 - 18y + 81]

Упрощая, получаем: 100 = 4x^2 - 112x + 784 + 4y^2 - 72y + 324

Собирая все слагаемые в одну сторону, получаем: 4x^2 - 112x + 4y^2 - 72y + 2080 = 0

Данное уравнение является уравнением окружности.

Координаты центра окружности можно найти, решив систему уравнений: -112/2a = -72/2b -112/2a = 72/2b

Где a и b - коэффициенты при x^2 и y^2 соответственно.

Раскрывая скобки и упрощая выражения, получаем: -112a = -72b -112/2a = 72/2b

Отсюда получаем, что a = -9b/14.

Подставив найденное значение a в первое уравнение системы, получаем: -112/2*(-9b/14) = 72/2b

Упрощая выражение, получаем: 504b = 1008

Деля обе части уравнения на 504, получаем: b = 2

Подставив найденное значение b во второе уравнение системы, получаем: -112/2*(-92/14) = 72/22

Упрощая выражение, получаем: a = -9

Таким образом, координаты центра окружности равны (a, b) = (-9, 2).

Следовательно, сумма координат точки M равна: x + y = -9 + 2 = -7

Ответ: -7.

Question 2

Даны координаты точек А (6; 3) и В (14; 9). Найдите координаты точки М, если точка В принадлежит отрезку АМ и АВ; АВ относится к ВМ как 2 к 1. В ответ запишите сумму координат точки М.

Answer

Для решения задачи мы можем использовать свойство, что координаты точки М делят отрезок АВ в отношении, заданном условием. Пусть координаты точки M равны (x; y). По условию, отношение АВ к ВМ равно 2 к 1. Это означает, что: AB/VM = 2/1 Мы можем записать расстояния AB и VM между точками используя их координаты: AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] VM = √[(x - x2)^2 + (y - y2)^2] Где (x1, y1) - координаты точки А, а (x2, y2) - координаты точки B. Подставляя известные значения, получаем: √[(14 - 6)^2 + (9 - 3)^2] / √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2] = 2/1 Вычисляя числитель и знаменатель, получаем: √[64 + 36] / √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2] = 2/1 Упрощая выражения, получаем: √[100] / √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2] = 2/1 Упрощая корни и квадраты, получаем: 10 / √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2] = 2/1 Перемножая обе части уравнения на √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2], получаем: 10 = 2 * √[(x - 14)^2 + (y - 9)^2] Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем: 100 = 4 * [(x - 14)^2 + (y - 9)^2] Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем: 100 = 4 * [x^2 - 28x + 196 + y^2 - 18y + 81] Упрощая, получаем: 100 = 4x^2 - 112x + 784 + 4y^2 - 72y + 324 Собирая все слагаемые в одну сторону, получаем: 4x^2 - 112x + 4y^2 - 72y + 2080 = 0 Данное уравнение является уравнением окружности. Координаты центра окружности можно найти, решив систему уравнений: -112/2a = -72/2b -112/2a = 72/2b Где a и b - коэффициенты при x^2 и y^2 соответственно. Раскрывая скобки и упрощая выражения, получаем: -112a = -72b -112/2a = 72/2b Отсюда получаем, что a = -9b/14. Подставив найденное значение a в первое уравнение системы, получаем: -112/2*(-9b/14) = 72/2b Упрощая выражение, получаем: 504b = 1008 Деля обе части уравнения на 504, получаем: b = 2 Подставив найденное значение b во второе уравнение системы, получаем: -112/2*(-9*2/14) = 72/2*2 Упрощая выражение, получаем: a = -9 Таким образом, координаты центра окружности равны (a, b) = (-9, 2). Следовательно, сумма координат точки M равна: x + y = -9 + 2 = -7 Ответ: -7.