На рис. 5 изображены правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник со стороной a. Найдите площади закрашенных фигур. Здесь радиусы секторов равны половине стороны многоугольника. Дано:

Привет! Давай вместе решим эту задачу.

Сначала разберёмся с условием задачи и рисунком. Нам даны три геометрические фигуры: правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Стороны каждой фигуры одинаковы и равны \( a \). А ещё у нас есть информация, что радиусы закрашенных секторов – это половина стороны многоугольника, то есть \( \frac{a}{2} \). Задача – найти площадь закрашенных фигур, которые образованы этими секторами.

Для начала найдём площадь одного сектора круга. Площадь круга с радиусом \( r \) равна \( \pi r^2 \), а значит, площадь одного сектора с углом \( 360°/n \) для \( n \)-угольника будет \( \pi r^2 \cdot \frac{360°}{n \cdot 360°} = \frac{\pi r^2}{n} \).

Теперь решим пункт а) – для правильного треугольника:

У нас три сектора, которые делят полный круг на \( n = 3 \) части, значит можем посчитать всю площадь центральной закрашенной фигуры как сумму площадей этих секторов. Площадь одного сектора равна \( \frac{\pi (\frac{a}{2})^2}{3} \), умножаем на 3, получаем полную площадь центральной фигуры для треугольника: ( \frac{\pi a^2}{12}