На рис. 5 изображены правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник со стороной a. Найдите площади закрашенных фигур. Здесь радиусы секторов равны половине стороны многоугольника.

Хорошо, давай посмотрим на картинку и попробуем вместе разобраться в задаче.

Начнем с верхней фигуры (a). Здесь мы видим равносторонний треугольник, в который вписаны три меньших равных сектора.

Так как радиусы секторов равны половине стороны многоугольника, то радиус каждого сектора равен a/2. Для нахождения площади сектора (который представляет собой шестую часть от круга), мы берем площадь круга \( \pi r^2 \) и делим ее на 6. Получается \( \frac{\pi (a/2)^2}{6} \). Но поскольку в треугольнике три таких сектора, то их общую площадь умножаем на 3 и получаем \( \frac{3 \pi (a/2)^2}{6} \). Это нам дает в итоге: \( \frac{\pi a^2}{8} \).

Теперь давай перейдем к средней фигуре (b), квадрату. Похожий принцип - четыре равных сектора, каждый радиусом a/2. Каждый сектор - четвертая часть круга. То есть площадь сектора - \( \frac{\pi (a/2)^2}{4} \). Всего секторов четыре, так что их общая площадь - \( 4 \cdot \frac{\pi (a/2)^2}{4} \), что упрощается до \( \pi a^2 \).

Наконец, нижняя фигу