Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Привет! Давай разберемся вместе с этой задачей.

Сначала нам нужно построить график функции \( y = \frac{x^4 - 10x^2 + 9}{(x + 1)(x - 3)} \). Заметим, что у данной функции есть две вертикальные асимптоты: \( x = -1 \) и \( x = 3 \), так как при этих значениях знаменатель обращается в ноль.

Дальше определим горизонтальную асимптоту. Для больших по модулю значений \( x \), степень числителя на единицу выше, чем степень знаменателя, поэтому горизонтальной асимптоты нет, но есть наклонная асимптота, которая совпадает с функцией \( y = x^2 \), так как \( \frac{x^4 - 10x^2 + 9}{(x^2 - 2x - 3)} \) при \( x \to \pm\infty \) стремится к \( x^2 \).

Теперь исследуем функцию на экстремумы и точки перегиба, но для этого нужно найти первую и вторую производные функции. Точки экстремума могут быть там, где первая производная равна нулю или не существует. Точки перегиба находятся там, где вторая производная обращается в ноль или меняет свой знак. Этот шаг требует вычисления, но для построения графика и решения задачи он не обязателен.

После всех этих исследований можно перейти к сути задачи — найти такие