.

Привет! Давай разберемся с твоей задачей по математике шаг за шагом.

Нам нужно найти значение выражения под корнем: \( \sqrt{42 \cdot 75 \cdot 14} \).

Для начала умножим числа под корнем, но прежде можно облегчить себе работу, разложив числа на множители, чтобы потом легче было извлечь корень.

Посмотри:

\(42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7\),
\(75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5 \cdot 5\),
\(14 = 2 \cdot 7\).

Теперь перемножим все множители:

\(2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7\).

Ты можешь видеть, что некоторые множители повторяются, а корень из произведения, в котором одни и те же числа встречаются в парах, можно упростить:

\( \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 5^2} \).

Теперь мы можем извлечь квадратные корни из квадратов каждого числа. То есть:

\(\sqrt{2^2} = 2\),
\(\sqrt{3^2} = 3\),
\(\sqrt{7^2} = 7\),
\(\sqrt{5^2} = 5\).

Теперь умножим результаты:

\(2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 = 6 \cdot 7 \cdot 5 = 42 \cdot 5 = 210\).

Итак, значение выражения равно 210. Надеюсь, что объяснил понятно!