Точка движется так, что x=4sin(πt/2), y=sin(πt/2), где x, y - в метрах, t - в секундах. Найти: уравнение траектории; величину и направление скорости и ускорения точки при t=2 с; характер и закон движения по траектории

Уравнение траектории можно найти, заменив выражение для x и y в уравнении траектории:

x = 4sin(πt/2), y = sin(πt/2)

уравнение траектории: y = x/4

Теперь найдем значения скорости и ускорения точки при t = 2 секунды.

Скорость (V) находится как производная от координат:

Vx = dx/dt = 4π/2cos(πt/2) = 2πcos(πt/2) Vy = dy/dt = π/2cos(πt/2) = (π/2)cos(πt/2)

Величина скорости (|V|) и направление скорости (θ) находятся из компонент скорости:

|V| = √(Vx^2 + Vy^2) = √[(2πcos(πt/2))^2 + ((π/2)cos(πt/2))^2] = √[4π^2cos^2(πt/2) + (π^2/4)cos^2(πt/2)] = √[(16π^2 + π^2/4)cos^2(πt/2)] = √[(64π^2 + π^2)/4cos^2(πt/2)] = √[(65π^2)/4cos^2(πt/2)] = (π/2)√(65)/|cos(πt/2)|

θ = arctan(Vy/Vx) = arctan[((π/2)cos(πt/2))/(2πcos(πt/2))] = arctan[(π/4)/2π] = arctan(1/8)

Ускорение (A) находится как вторая производная от координат:

Ax = d^2x/dt^2 = -2π^2sin(πt/2) = -π^2sin(πt/2) Ay = d^2y/dt^2 = -π^2/2sin(πt/2) = -(π^2/2)sin(πt/2)

Величина ускорения (|A|) и направление ускорения (ϕ) находятся из компонент ускорения:

|A| = √(Ax^2 + Ay^2) = √[(-π^2sin(πt/2))^2 + (-(π^2/2)sin(πt/2))^2] = √[(π^4sin^2(πt/2)/4) + (π^4sin^2(πt/2)/4)] = √[(π^4sin^2(πt/2)/2)] = (π^2/√2)|sin(πt/2)|

ϕ = arctan(Ay/Ax) = arctan[-(π^2/2)sin(πt/2)/(-π^2sin(πt/2))] = arctan(1/2)

Таким образом, величина и направление скорости при t=2 секунды равны:

|V| = (π/2)√(65)/|cos(πt/2)| θ = arctan(1/8)

Величина и направление ускорения при t=2 секунды равны:

|A| = (π^2/√2)|sin(πt/2)| ϕ = arctan(1/2)

Характер движения по траектории: точка движется по прямой линии (линейное движение), так как уравнение траектории y = x/4 является уравнением прямой.