Точка движется так, что x=4sin(πt/2), y=sin(πt/2), где x, y - в метрах, t - в секундах. Найти: уравнение траектории; величину и направление скорости и ускорения точки при t=2 с; характер и закон движения по траектории

Уравнение траектории можно получить просто подставив x и y в уравнение x^2 + y^2 = r^2, где r - радиус траектории.

(x^2 + y^2) = (4sin(πt/2))^2 + (sin(πt/2))^2 (x^2 + y^2) = 16sin^2(πt/2) + sin^2(πt/2) (x^2 + y^2) = 17sin^2(πt/2)

Таким образом, уравнение траектории это 17sin^2(πt/2).

Для нахождения величины и направления скорости, нужно продифференцировать уравнения x(t) и y(t).

x'(t) = d/dt (4sin(πt/2)) = 2πcos(πt/2) y'(t) = d/dt (sin(πt/2)) = (π/2)cos(πt/2)

Подставим t = 2 с в выражения для скорости:

x'(2) = 2πcos(π(2)/2) = 2πcos(π) = -2π y'(2) = (π/2)cos(π(2)/2) = (π/2)cos(π) = -π/2

Таким образом, скорость точки при t = 2 с составляет -2π м/с вдоль оси x и -π/2 м/с вдоль оси y.

Для нахождения ускорения, нужно вторично продифференцировать уравнения x(t) и y(t).

x''(t) = d^2/dt^2 (4sin(πt/2)) = -2π^2sin(πt/2) y''(t) = d^2/dt^2 (sin(πt/2)) = -(π/2)^2sin(πt/2) = -π^2sin(πt/2)/4

Подставим t = 2 с в выражения для ускорения:

x''(2) = -2π^2sin(π(2)/2) = -2π^2sin(π) = 0 y''(2) = -π^2sin(π(2)/2)/4 = -π^2sin(π)/4 = 0

Таким образом, ускорение точки при t = 2 с равно 0 для обеих осей.

Из уравнения траектории, видно, что движение точки является гармоническим, так как зависит от синуса. Движение точки происходит вдоль окружности радиусом √17.