" Через точку А, яка лежить поза колом, проведено дві прямі, одна з яких дотикається до кола в точці В, а друга перетинає коло в точках С і D (точка С лежить між точками А і D), АВ = 18 см, AC: CD 4: 5. Знайдіть відрізок АД.

Question 1

Задача Задача №62354

А

Аноним

27 ноября 2023 06:52 · публичный вопрос

А

Аноним 27 ноября 2023 06:52

" Через точку А, яка лежить поза колом, проведено дві прямі, одна з яких дотикається до кола в точці В, а друга перетинає коло в точках С і D (точка С лежить між точками А і D), АВ = 18 см, AC: CD 4: 5. Знайдіть відрізок АД.

Answer

Основна ідея розв'язку полягає в застосуванні властивостей дотичних та хорд кола.

Враховуючи, що пряма AC дотикається до кола в точці В, ми можемо скористатися властивістю: дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, проведеного до точки дотику. Тому, AV буде перпендикулярним до AC.

Це означає, що в трикутнику АВС ми можемо застосувати теорему Піфагора: AB² = AV² + AC².

Ми знаємо, що AB = 18 см, і хочемо знайти AD.

За властивістю кола, AC множиться на CD, якщо відповідні точки перетину лежать на колі. За умовою ми знаємо, що AC:CD = 4:5.

Отже, ми отримуємо два рівняння:

AB² = AV² + AC²
AC/CD = 4/5

Давайте позначимо AD як Х.

Тоді AV буде (18-Х) см, але так як AV і AC утворюють прямий кут, то можемо позначити його як 18-Х.

Ми можемо також позначити CD як 5х, оскільки AC:CD = 4:5.

Підставимо ці значення у рівняння:

18² = (18-Х)² + (AC)² (рівняння 1) AC/5х = 4/5 (рівняння 2)

Розкриваємо квадрат (18-Х)² = 324 - 36Х + X², і підставляємо це у рівняння 1:

324 = 324 - 36Х + X² + (AC)²

Враховуючи, що AB² = (AC)² + (CB)², і CB = CD - AC, ми можемо записати:

18² = (AC)² + (CD - AC)²

Розкриваємо квадрати:

324 = (AC)² + (5х - AC)²

Знаючи, що AC/5х = 4/5 (рівняння 2), можемо записати:

AC = (4/5)(5х)

Підставляємо це значення до останнього рівняння:

324 = [(4/5)(5х)]² + (5х - (4/5)(5х))²

324 = (16/25)(25х²) + (25х - (16/25)(25х))²

Зводимо частини рівняння:

324 = (16/25)(25х²) + [(625/25 - 256/25)(25х)]²

324 = (16/25)(25х²) + [369/25(25х)]²

Знаходимо спільний множник (16/25) і (25х):

324 = (16/25)(25х)² + (369/25)(25х)²

Зводимо праву частину рівняння:

324 = (16/25) + (369/25)²

324 = (385/25)(25х)²

Зводимо рівняння:

324 = (385/25)(25х)²

Поділяємо на (385/25):

(25х)² = (324 * 25) / 385

Обчислюємо праву частину рівняння:

(25х)² = 2100 / 7

(25х)² = 300

Знаходимо квадратний корінь:

25х = √300

25х = 10√3

Розділяємо на 25:

х = (10√3) / 25

Скорочуємо дроби:

х = (2√3) / 5

Таким чином, відрізок АД буде (2√3) / 5 см.

Question 2

" Через точку А, яка лежить поза колом, проведено дві прямі, одна з яких дотикається до кола в точці В, а друга перетинає коло в точках С і D (точка С лежить між точками А і D), АВ = 18 см, AC: CD 4: 5. Знайдіть відрізок АД.

Answer

Основна ідея розв'язку полягає в застосуванні властивостей дотичних та хорд кола. Враховуючи, що пряма AC дотикається до кола в точці В, ми можемо скористатися властивістю: дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, проведеного до точки дотику. Тому, AV буде перпендикулярним до AC. Це означає, що в трикутнику АВС ми можемо застосувати теорему Піфагора: AB² = AV² + AC². Ми знаємо, що AB = 18 см, і хочемо знайти AD. За властивістю кола, AC множиться на CD, якщо відповідні точки перетину лежать на колі. За умовою ми знаємо, що AC:CD = 4:5. Отже, ми отримуємо два рівняння: 1) AB² = AV² + AC² 2) AC/CD = 4/5 Давайте позначимо AD як Х. Тоді AV буде (18-Х) см, але так як AV і AC утворюють прямий кут, то можемо позначити його як 18-Х. Ми можемо також позначити CD як 5х, оскільки AC:CD = 4:5. Підставимо ці значення у рівняння: 18² = (18-Х)² + (AC)² (рівняння 1) AC/5х = 4/5 (рівняння 2) Розкриваємо квадрат (18-Х)² = 324 - 36Х + X², і підставляємо це у рівняння 1: 324 = 324 - 36Х + X² + (AC)² Враховуючи, що AB² = (AC)² + (CB)², і CB = CD - AC, ми можемо записати: 18² = (AC)² + (CD - AC)² Розкриваємо квадрати: 324 = (AC)² + (5х - AC)² Знаючи, що AC/5х = 4/5 (рівняння 2), можемо записати: AC = (4/5)(5х) Підставляємо це значення до останнього рівняння: 324 = [(4/5)(5х)]² + (5х - (4/5)(5х))² 324 = (16/25)(25х²) + (25х - (16/25)(25х))² Зводимо частини рівняння: 324 = (16/25)(25х²) + [(625/25 - 256/25)(25х)]² 324 = (16/25)(25х²) + [369/25(25х)]² Знаходимо спільний множник (16/25) і (25х): 324 = (16/25)(25х)² + (369/25)(25х)² Зводимо праву частину рівняння: 324 = [(16/25) + (369/25)](25х)² 324 = (385/25)(25х)² Зводимо рівняння: 324 = (385/25)(25х)² Поділяємо на (385/25): (25х)² = (324 * 25) / 385 Обчислюємо праву частину рівняння: (25х)² = 2100 / 7 (25х)² = 300 Знаходимо квадратний корінь: 25х = √300 25х = 10√3 Розділяємо на 25: х = (10√3) / 25 Скорочуємо дроби: х = (2√3) / 5 Таким чином, відрізок АД буде (2√3) / 5 см.