Теорема о квадрате касательной

Теорема о квадрате касательной, также известная как теорема о дифференцировании обратной функции, утверждает следующее:

Пусть у нас есть функция y = f(x), которая имеет точку перегиба или точку экстремума, в которой её производная не равна нулю. Тогда у обратной функции x = f^(-1)(y) касательная к графику f(x) в точке (a, b) является перпендикулярной и имеет квадрат наклона, обратный квадрату наклона касательной к функции f(x) в точке (b, a).

Математически, если (a, b) - точка на графике f(x), то касательная к функции f(x) в точке (a, b) имеет уравнение y - b = f'(a)(x - a), где f'(a) - это производная функции f(x) в точке a.

Тогда касательная к обратной функции f^(-1)(y) в точке (b, a) имеет уравнение x - a = 1 / f'(a)(y - b), где f'(a) - это производная функции f(x) в точке a.

Итак, квадрат наклона касательной к функции f(x) в точке (a, b) равен квадрату наклона касательной к обратной функции f^(-1)(y) в точке (b, a).