Найдите общий вид первообразной F(x) для функции

Хорошо, давайте вместе рассмотрим задание и попробуем найти общий вид первообразной \( F(x) \) для заданных функций \( f(x) \). На фото видно несколько примеров, но начнём, пожалуй, с первого.

а) \( f(x) = 4 \cdot \cos 2x \)

Для нахождения первообразной этой функции вспомним основное свойство интегрирования тригонометрических функций и то, что интеграл от косинуса есть синус, но с отрицательным знаком, если перед аргументом стоит коэффициент. Кроме того, нужно учитывать этот коэффициент при интегрировании. Итак, получаем:

\[ F(x) = \frac{4}{2} \cdot \sin 2x + C = 2 \cdot \sin 2x + C \]

Постоянная интегрирования \( C \) здесь и в следующих примерах важна, так как мы ищем общий вид первообразной.

б) \( f(x) = \sin(2x - 4) \)

Аналогично предыдущему примеру, интегрируем синус, помня, что для синуса первообразная – это минус косинус. Поэтому получаем:

\[ F(x) = -\frac{1}{2} \cdot \cos(2x - 4) + C \]

в) \( f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} - x \)

Здесь у нас два слагаемых. Первое слагаемое \( \frac{4}{\sqrt{x}} \) можно представить как ( 4x^{-\frac{1