Задание на фото

Привет! Давай посмотрим, что у тебя за задача.

Задание гласит: "Найдите значение \( \cos2\alpha \), если известно, что \( \sin\alpha = \frac{8}{17} \) и \( 90° < \alpha < 180° \)".

Для начала важно вспомнить тригонометрическую идентичность, связывающую синус и косинус: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Это поможет нам найти значение \( \cos\alpha \), после чего мы сможем вычислить \( \cos2\alpha \) используя формулу двойного угла \( \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \) или \( \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \).

Итак, приступим:

1. Сначала найдем \( \cos\alpha \). Из идентичности \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \), следует, что \( \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} \) или \( \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} \). Так как \( \alpha \) лежит во второй четверти (между 90° и 180°), где косинус отрицателен, выбираем второй вариант со знаком минус.

2. Вычислим \( \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = -\sqrt{1 - \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{289 - 64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17} \).

3. Теперь найдем ( \