Реши

Привет! Давай вместе посмотрим на этот интеграл.

Для начала попробуем упростить подынтегральное выражение. Заметим, что \( e^{\frac{3}{\sqrt{x}}} \) можно переписать как \( e^{3x^{-\frac{1}{2}}} \), а также \( \frac{1}{3\sqrt{x^2}} \) - это то же самое, что \( \frac{1}{3x} \).

Теперь у нас под интегралом стоит \( \frac{e^{3x^{-\frac{1}{2}}}}{3x} \).

Дальше мы можем применить метод интегрирования подстановкой (метод замены переменной), который в учебниках часто называют методом "u-подстановки". Для этого выберем новую переменную, например u, такую, что:

\( u = 3x^{-\frac{1}{2}} \)

Теперь найдем производную от u по x, чтобы выразить dx через du:

\( du = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}dx \)

Из этого уравнения выразим dx:

\( dx = -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}du \)

Теперь подставим наше выражение для u и dx в интеграл:

\( \int e^u \cdot (-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}) \cdot \frac{1}{3x}du \)

Когда мы подставим u, получим упрощенный интеграл, который мы уже можем интегрировать прямо:

\( \int -\frac{2}{9}x^{\frac{1}{2}} e^u du \)

Заметим, что x ещё не выражен через u. Нам нужно исправ