А1(-2; 1; -1), А2(-3; 1; 3), А3(-4; 2; -1), А4(-2; 3; 1)

Привет! Давай посмотрим, что у нас здесь за задача.

Нам даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4, и нужно найти:

1. Длины рёбер A1A2 и A1A3.
2. Угол между рёбрами A1A2 и A1A3.
3. Площадь грани A1A2A3.
4. Объём пирамиды.
5. Уравнения прямых A1A2 и A1A3.
6. Уравнения плоскостей A1A2A3 и A1A2A4.
7. Угол между плоскостями A1A2A3 и A1A2A4.

Сначала найдем длины рёбер A1A2 и A1A3. Для этого надо воспользоваться формулой расстояния между двумя точками в трёхмерном пространстве. Для ребра A1A2:

Длина A1A2 = √((-3 + 2)² + (1 - 1)² + (3 + 1)²) = √(1² + 0² + 4²) = √(1 + 16) = √17.

Теперь для ребра A1A3:

Длина A1A3 = √((-4 + 2)² + (2 - 1)² + (-1 + 1)²) = √(2² + 1² + 0²) = √(4 + 1) = √5.

Теперь посчитаем угол между рёбрами A1A2 и A1A3. Векторы этих рёбер − это разности координат соответствующих точек. Найдем скалярное произведение этих векторов и поделим на про