Реши пример понятным образом

Привет! Давай вместе разберёмся с этим примером.

На картинке у нас есть система неравенств:

\[ \begin{cases} 16\log_2{x} + 1 = 2\log_2{y} \\ \log_2{x}^2 \geq \log_2{y} \end{cases} \]

Сначала займёмся первым неравенством. Чтобы его решить, давай перепишем его так, чтобы все логарифмы были с одинаковым основанием, а затем мы сможем избавиться от логарифмов вообще. Так как у нас основание 2, перенесём 2log_2{y} налево, чтобы сгруппировать логарифмы:

\[ 16\log_2{x} - 2\log_2{y} = -1 \]

Теперь тебе нужно знать, что 16\log_2{x} можно представить как \log_2{x}^{16}. И далее, 2\log_2{y} можно представить как \log_2{y}^{2}. После этого мы можем скомбинировать обе стороны в один логарифм, используя свойства логарифмов:

\[ \log_2{x^{16}} - \log_2{y^2} = -1 \]

Используем свойство разности логарифмов:

\[ \log_2{\frac{x^{16}}{y^2}} = -1 \]

Далее, чтобы избавиться от логарифма, перепишем это уравнение в экспоненциальной форме:

\[ \frac{x^{16}}{y^2} = 2^{-1} \]

[ \frac{x^{16}}{y^2} = \frac{