Реши

Хорошо, давай разбираться с этой геометрической прогрессией шаг за шагом.

Нам даны первый член прогрессии \( b_1 = 1 \) и шестой член \( b_6 = \frac{1}{243} \). Вспомним, что в геометрической прогрессии отношение любого члена к предыдущему одинаково и называется знаменателем прогрессии. Иными словами, в нашем случае \( b_6 = b_1 \cdot q^5 \), где \( q \) — искомый знаменатель прогрессии.

Теперь подставим известные значения:

\( \frac{1}{243} = 1 \cdot q^5 \)

Чтобы найти \( q \), извлечём пятый корень из обеих частей уравнения:

\( q = \sqrt[5]{\frac{1}{243}} = \frac{1}{3} \)

Таким образом, знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{3} \). Зная это, мы можем найти четвёртый член прогрессии:

\( b_4 = b_1 \cdot q^3 = 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} \)

Теперь найдём сумму первых пяти членов прогрессии. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии такова: \( S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \), где \( S_n \) — сумма первых n членов.

Найдём \( S_5 \):

( S_5 = 1 \cdot \frac{1 - (\frac