Решение

Хорошо, давай разбираться. Нам нужно найти четвертый член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, где \( b_1 = 1 \) и \( b_6 = \frac{1}{243} \).

Сначала найдем знаменатель прогрессии \( q \), который соединяет соседние члены таким образом: \( b_{n+1} = b_n \cdot q \).

Так как у нас есть \( b_6 \) и \( b_1 \), а \( b_6 = b_1 \cdot q^5 \), мы можем выразить \( q \) следующим образом:

\[ \frac{1}{243} = 1 \cdot q^5 \]

\[ q^5 = \frac{1}{243} \]

Заметим, что 243 это \( 3^5 \), так что получаем:

\[ q^5 = \frac{1}{3^5} \]

\[ q = \frac{1}{3} \]

Значит, наш знаменатель \( q \) равен \( \frac{1}{3} \).

Теперь найдем четвертый член прогрессии \( b_4 \):

\[ b_4 = b_1 \cdot q^3 \]

\[ b_4 = 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \]

\[ b_4 = \frac{1}{27} \]

И последнее, нам нужно найти сумму первых пяти членов \( S_5 \). Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии находится по формуле:

\[ S_n = b_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \]

\( S_5 \) будет равна:

[ S_5 = 1 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^5}{1-\