CA = 35 см; CB = 120 см. Найди АВ и синус и косинус угла В. (В ответе дроби сократи до несократимого вида!)

Для решения этой задачи нам понадобится теорема косинусов, которая гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

где \( c \) - сторона, противолежащая углу \( C \), а \( a \) и \( b \) - оставшиеся стороны треугольника.

Дано:

\( CA = 35 \) см

\( CB = 120 \) см

Нам нужно найти сторону \( AB \) и углы \( \sin(B) \) и \( \cos(B) \).

Сначала найдем сторону \( AB \) по теореме косинусов:

\[ AB^2 = 35^2 + 120^2 - 2 \cdot 35 \cdot 120 \cdot \cos(B) \]

\[ AB = \sqrt{35^2 + 120^2 - 2 \cdot 35 \cdot 120 \cdot \cos(B)} \]

Теперь найдем углы \( \sin(B) \) и \( \cos(B) \) используя простые соотношения трегонометрии:

\[ \sin(B) = \frac{120}{AB} \]

\[ \cos(B) = \frac{35}{AB} \]

Подставим значение AB и найдем результат:

\[ AB = \sqrt{35^2 + 120^2 - 2 \cdot 35 \cdot 120 \cdot \cos(B)} \]

\[ AB = \sqrt{1225 + 14400 - 8400 \cdot \cos(B)} \]

\[ AB = \sqrt{15625 - 8400 \cdot \cos(B)} \]

\[ AB = 125 \]

Теперь подставим значение AB в формулы для нахождения \( \sin(B) \) и \( \cos(B) \):

\[ \sin(B) = \frac{120}{125} = \frac{24}{25} \]

\[ \cos(B) = \frac{35}{125} = \frac{7}{25} \]

Таким образом, \( AB = 125 \) см, \( \sin(B) = \frac{24}{25} \), \( \cos(B) = \frac{7}{25} \).