Грань куба окрашены в белый или чёрный цвет докажите что найдут ли две грани с общим ребром окрашенные в один цвет

Доказательство можно привести следующим образом:

Рассмотрим куб с произвольной окраской граней в белый или черный цвет. Предположим, что в нем нет двух граней с общим ребром, окрашенными в один цвет.

Пусть у нас есть одна произвольная грань куба. У нее по определению 3 ребра, а следовательно, максимальное количество смежных граней – 3. Так как грань смежна с 3 другими гранями, то она имеет хотя бы 2 грани, окрашенные в один цвет. Назовем эту грань "начальной" гранью.

Также заметим, что в каждый момент времени мы можем выбрать ровно две грани смежные с текущей гранью, таким образом, что они образуют общее ребро. Среди этих двух граней, по предположению, найдется хотя бы одна грань окрашенная в тот же цвет, что и начальная грань.

Рассмотрим две возможные ситуации:

1. Если мы находим грань, окрашенную в тот же цвет, что и начальная грань, мы можем продолжить процесс, выбрав эту грань в качестве текущей грани, и повторить шаги выше.
2. Если мы находим грань, окрашенную в противоположный цвет, мы можем придти к противоречию. Так как количество граней куба равно 6, и наш процесс уже нашел 2 грани, окрашенные в один цвет, то остается 4 грани. Но на любую из этих 4 граней окрашенным в противоположный цвет не окажется противоположная грань текущей грани, так как у куба ровно 3 ребра у каждой грани. Это значит, что нельзя выбрать текущую грань и продолжить развитие процесса.

Таким образом, мы либо будем продолжать находить новые грани, окрашенные в то же самое цвета, и это будет происходить до тех пор, пока все грани не будут окрашены в один цвет, либо мы придем к противоречию при нахождении противоположно окрашенной грани.

Следовательно, найдутся две грани с общим ребром, окрашенные в один цвет.