докажите,что в любой компании из шести человек найдётся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых

Для доказательства этого факта используется теория графов. Раздели шесть человек на две группы: первая группа состоит из любых трех человек, а вторая группа из трех других человек. Так или иначе, в одной из этих двух групп будет либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.