Для решения этой задачи, нам нужно найти наименьшее натуральное число n такое, что 0,999... больше, чем 2022/2023.
Поскольку 0,999... является бесконечной десятичной дробью, мы можем представить ее как сумму бесконечного ряда:
0,999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...
Рассмотрим сумму первых n членов этого ряда:
S_n = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/10^n
Мы хотим найти наименьшее n, для которого S_n > 2022/2023.
Можем заметить, что этот ряд является геометрической прогрессией с первым членом a = 9/10 и знаменателем q = 1/10.
Формула суммы геометрической прогрессии:
S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)
Подставляем значения a и q:
S_n = (9/10) * (1 - (1/10)^n) / (1 - 1/10)
Теперь мы можем найти n, подставив S_n и 2022/2023:
(9/10) * (1 - (1/10)^n) / (1 - 1/10) > 2022/2023
Умножаем обе части на (1 - 1/10):
(9/10) * (1 - (1/10)^n) > 2022/2023 * (1 - 1/10)
Упрощаем:
1 - (1/10)^n > (2022/2023) * (9/10)
Теперь решим это неравенство численно. Решаем неравенство, упрощая его пошагово:
1 - (1/10)^n > (2022/2023) * (9/10)
(1/10)^n < 1 - (2022/2023) * (9/10)
(1/10)^n < (2022/2023) * (1/10)
(1/10)^n < 2022/20230
Теперь возведем обе части в степень -1:
n > log_(1/10)(2022/20230)
Подставляя значения в калькулятор, получаем:
n > 45.6419
Таким образом, наименьшее натуральное число n, для которого 0,999...9 > 2022/2023, равно 46.
